江村さま
お世話になります。確認をしましたところ、以下の通りとなりました。
［クイック起動］からIMEを開くを実行：日本語入力がオフになる（ATOKにてその旨表示）
［すべてのコマンド］から［IMEを開く実行］：日本語入力がオフになる（ATOKにてその旨表示）
それぞれ、もう一度同じ操作を行うと、日本語入力がオンになり、日本語の入力が可能となります。状況としては、最初のご報告（漢字 半角/全角キーを二度押しで日本語入力が可能となる）と同じです。
なお、［すべてのコマンド］から実行の際［IMEを開く実行 Ctrl+F11］は有効になっていました。また、高速起動は無効にしています。
以上、よろしくお願いいたします。