hosts ファイルのアクセス権の設定は、私の環境と同じでした。
EmEditor の設定のプロパティの [バックアップ] タブで、何かバックアップの設定を行っていますか? もし行っていたら、バックアップの設定をすべて外して試していただけると幸いです。hosts 以外のWindows フォルダや Program Files フォルダの中のファイルは問題ないでしょうか? たとえば、C:Program FilesEmEditor のフォルダの中の template.htm などは問題なく保存できるでしょうか?
「管理者として実行」でEmEditorを起動し、デスクトップにファイルを保存してみると、保存できました。
hostsファイルは「管理者のアクセス許可を提供する必要があります」と出て続行しても、「指定されたパスが見つかりません」となり反映できません。
ということですが、同じパス、同じファイル名で上書き保存はできないということでしょうか?