qtv 様
いつもお世話になっております。江村です。
トレイアイコンはカレントディレクトリを、開いているファイルのパスに変更することは無く、ご質問のような問題は、Windows 7、Windows 10 で再現することができませんでした。
トレイアイコンを起動した時の初期ディレクトリの場合は、それ自体を削除することはできません。（通常は、emedtray.exe の存在するディレクトリですが、ショートカットのプロパティなどで、初期ディレクトリを変更している場合があります）
また、アンチ ウィルス ソフトウェアなど、外部のソフトウェアが関係している可能性もあると思います。
トレイアイコンでどのような操作をした後に、ご指摘のような現象になるか、もし再現できる条件がわかれば教えていただけると幸いです。
よろしくお願いします。